Obertonreihe

Klänge aus Sinusschwingungen zusammensetzen: Teiltöne frei gewichten oder Sinus, Sägezahn, Rechteck und Dreieck laden – mit Wellenform, Klaviatur und Klirrfaktor.

Erklärung Aufgaben

Balken ziehen ändert die Amplitude, unter null bedeutet Phase 180°. Doppelklick setzt einen Teilton auf 0. Zeigen auf einen Balken hebt den Teilton in Wellenform und Klaviatur hervor.

Wellenform (zwei Perioden)

Teiltöne auf der Klaviatur (Abweichung zur gleichstufigen Stimmung in Cent)

Spielbar wie ein MIDI-Keyboard: Taste drücken setzt die Grundfrequenz, Ziehen über die Tasten gleitet. Ist der Ton aus, klingt er nur, solange die Taste gedrückt ist; ist er an, bleibt er auf der neuen Tonhöhe stehen.

Fügt die Teiltöne nacheinander hinzu, vom Grundton bis zur eingestellten Anzahl. Mit ◀︎ und ▶︎ (oder ← und →) geht es Schritt für Schritt. Kräftige Balken klingen mit, blasse Balken mit gestricheltem Griff sind (noch) stumm – auch Teiltöne über 20 kHz.

Teiltöne

Wellenform laden

Anzahl Teiltöne N Grundfrequenz f₀

Skala der Balken

linear dB

Teiltöne einzeln zeigen

aus an

Wellenform
Höchster Teilton
Klirrfaktor (THD)
Scheitelfaktor

Tastatur: Leertaste = Aufbau abspielen/anhalten, ← / → = Teilton weg/dazu, F = Präsentationsmodus, M = Ton an/aus

Was passiert hier?

Ein Ton aus vielen Sinustönen

Eine angeschlagene Gitarrensaite klingt wie ein einziger Ton, schwingt aber gleichzeitig als Ganzes, in zwei Hälften, in drei Dritteln und so weiter. Jedes Muster liefert einen Sinuston, und ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f₀: f₀, 2·f₀, 3·f₀ … Das ist die Obertonreihe oder Teiltonreihe. Das Gehör verschmilzt diese Teiltöne zu einem Klang mit der Tonhöhe f₀ – wie stark die einzelnen Teiltöne sind, hörst du als Klangfarbe.

Das gilt für jeden periodischen Klang (Fourier-Reihe): x(t) = Σ aₙ · sin(2π · n · f₀ · t), n = 1 … N. Dabei ist x(t) der Signalwert zur Zeit t, n die Nummer des Teiltons, aₙ seine Amplitude und N die Anzahl der Teiltöne; Σ addiert alle Teiltöne. Genau diese Summe berechnet das Modul. Im oberen Diagramm „Amplituden der Teiltöne aₙ“ ist jeder Balken ein aₙ, darunter zeigt „Wellenform (zwei Perioden)“ die Summe als orange Kurve. Vorsicht bei der Zählung: Der 1. Teilton ist der Grundton, der 2. Teilton ist der 1. Oberton.

Probier es aus: Klicke auf „Aufbau abspielen“. Die Teiltöne kommen nacheinander dazu, vom Grundton bis zur eingestellten „Anzahl Teiltöne N“. Kräftige Balken klingen mit, blasse mit gestricheltem Griff sind noch stumm. Mit ◀ und ▶ (oder ← und →) geht es Schritt für Schritt.

Klangfarbe: wie stark welcher Teilton ist

Die Knöpfe unter „Wellenform laden“ setzen die Lehrbuchamplituden. Der Sinus hat nur den Grundton. Der Sägezahn enthält alle Teiltöne mit dem Betrag 1/n (mit abwechselndem Vorzeichen), das Rechteck nur die ungeraden, ebenfalls mit 1/n. Das Dreieck hat dieselben ungeraden Teiltöne, aber mit 1/n², und jeder zweite ist umgepolt.

Warum fällt ein 1/n-Spektrum mit 6 dB pro Oktave? Eine Oktave höher heißt doppelte Teiltonnummer, die Amplitude halbiert sich: 20 · log₁₀(1/2) ≈ −6 dB. Bei 1/n² viertelt sie sich, das sind −12 dB pro Oktave. Stell die „Skala der Balken“ auf dB, dann siehst du es direkt: Beim Rechteck liegt der 3. Teilton bei −9,5 dB und der 9. bei −19,1 dB, beim Dreieck liegt schon der 3. bei −19,1 dB. Die Nulllinie steht in dieser Ansicht für −60 dB und weniger.

Deshalb klingt der Sägezahn hell und scharf, das Rechteck hohl und das Dreieck weich, fast flötenartig. Und deshalb sieht das Dreieck schon mit wenigen Teiltönen fast perfekt aus: Die gestrichelte „ideale Wellenform“ zeigt, wohin die Summe mit unendlich vielen Teiltönen strebt.

Hör es dir an: Schalte mit dem Lautsprecher-Symbol den Ton ein und wechsle zwischen den Wellenformen. Das Modul hält dabei den Effektivwert konstant, du vergleichst also Klangfarben und nicht Pegel.

Die Obertonreihe als Tonleiter

Weil jeder Teilton ein festes Frequenzverhältnis zum Grundton hat, bilden die Teiltöne immer dieselbe Intervallfolge: Oktave (2), Quinte darüber (3), Doppeloktave (4), große Terz (5), Quinte (6) … Die Teiltöne 4, 5 und 6 ergeben zusammen einen Dur-Dreiklang. Den Abstand misst man in Cent: Der n-te Teilton liegt c = 1200 · log₂(n) Cent über dem Grundton, 100 Cent sind ein gleichstufiger Halbton.

Rechenbeispiel mit f₀ = 110 Hz (A2): Der 3. Teilton liegt bei 330 Hz, 1200 · log₂(3) ≈ 1902 Cent – eine Oktave plus Quinte (1900 Cent) und nur 2 Cent darüber, also praktisch die Taste E4. Der 5. Teilton (550 Hz) hat 1200 · log₂(5) ≈ 2786 Cent und liegt damit 14 Cent unter der gleichstufigen großen Terz C♯5. Noch deutlicher daneben liegen der 7. Teilton (31 Cent zu tief), der 11. (49 Cent zu tief, fast genau zwischen zwei Tasten) und der 13. (41 Cent zu hoch).

Probier es aus: Zeige auf einen Balken. Die Kopfzeile nennt Teiltonnummer, Frequenz, Note mit Cent-Abweichung, Intervall und Amplitude. In der Klaviatur darunter steht jeder Teilton als Strich mit Punkt; liegt er 15 Cent oder mehr neben der nächsten Taste, erscheint er türkis mit seiner Abweichung. Die Klaviatur ist spielbar: Ein Tastendruck setzt f₀, Ziehen über die Tasten gleitet. Ein MIDI-Keyboard schaltest du im Einstellungsmenü (Zahnrad) ein.

Hör es dir an: Setze den Grundton per Doppelklick auf 0. Die Tonhöhe bleibt trotzdem erhalten, weil das Gehör den gemeinsamen Abstand f₀ der übrigen Teiltöne erkennt („fehlender Grundton“). Darum hörst du Bässe auch auf einem Handylautsprecher.

Phase: gleiches Spektrum, andere Welle

Ein Balken unter null bedeutet: Dieser Teilton trägt mit umgekehrter Phase (180°) bei. Am Betragsspektrum ändert das nichts, und auch der Effektivwert bleibt gleich, weil er nur von den Beträgen abhängt: Effektivwert = √(Σ aₙ² / 2). Die Wellenform kann aber ganz anders aussehen – und mit ihr der Spitzenwert.

Probier es aus: Lade das Rechteck und ziehe den 3. Teilton von +0,33 auf −0,33. Aus dem flachen Plateau wird eine Spitze in der Mitte. Der Spitzenwert steigt von etwa 0,93 auf 1,45, also um mehr als die Hälfte, der „Scheitelfaktor“ von 1,5 dB auf 5,4 dB, während „Klirrfaktor (THD)“ unverändert bleibt.

Hör es dir an: Mit eingeschaltetem Ton klingt das umgepolte Rechteck kaum anders. Ein häufiger Irrtum folgt daraus: „Was man nicht hört, spielt keine Rolle.“ Für Aussteuerung, Headroom und Limiter zählt aber der Spitzenwert, und den bestimmt die Phasenlage mit. Ein phasendrehender EQ oder Allpass kann deshalb die Pegelspitzen im Master um einige dB anheben, ohne den Frequenzgang sichtbar zu ändern – Spitzen danach neu messen, am besten mit True-Peak-Anzeige.

Klirrfaktor und Scheitelfaktor

Der Klirrfaktor (THD, Total Harmonic Distortion) vergleicht alle Obertöne zusammen mit dem Grundton: THD = √(a₂² + a₃² + …) / |a₁|; |a₁| ist der Betrag der Grundton-Amplitude, also ihr Wert ohne Vorzeichen. Er hängt nur von den Beträgen ab. Beispiel: Ein Sinus mit zusätzlich 0,1 beim 3. Teilton hat THD = 0,1/1 = 10 % = −20 dB. Fehlt der Grundton, ist der Klirrfaktor nicht definiert, die Anzeige zeigt „—“. Zum Vergleich: Das Rechteck mit 32 Teiltönen hat 46,7 %, das Dreieck 12,1 %. Ein guter Studioverstärker liegt unter 0,01 %, eine Bandmaschine an ihrem maximalen Pegel (MOL) bei 3 %.

Verzerrt ein Verstärker einen Sinus, entstehen genau solche zusätzlichen Teiltöne, und ihre Verteilung verrät die Ursache. Ungerade Teiltöne lassen positive und negative Halbwelle spiegelbildlich – so wirkt symmetrisches Begrenzen. Gerade Teiltöne machen die Halbwellen verschieden – so wirkt eine unsymmetrische Kennlinie. Probier es aus: Lade den Sinus und ziehe den 3. Teilton auf +0,1 – die Kuppen werden flacher (Spitze 0,9). Setze ihn wieder auf 0 und ziehe den 2. auf +0,1: Die Halbwellen neigen sich unterschiedlich, der Klirrfaktor ist wieder 10 %.

Der Scheitelfaktor (Crest-Faktor) ist das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert. Beim Sinus ist er √2 ≈ 1,41 (3,0 dB), beim idealen Rechteck 1 (0 dB) – im Modul mit 32 Teiltönen wegen der Überschwinger 1,19 (1,5 dB). Sägezahn und Dreieck haben ideal √3 ≈ 1,73 (4,8 dB). Musik liegt weit darüber: Ein unbearbeitetes Schlagzeug erreicht leicht 20 dB, ein stark limitierter Master oft unter 10 dB. So viel Headroom braucht ein Signal über seinem Effektivpegel.

Gibbs-Phänomen: die Überschwinger bleiben

Mit wenigen Teiltönen bleiben an den Sprüngen von Rechteck und Sägezahn Überschwinger stehen, das Gibbs-Phänomen. Probier es aus: Lade das Rechteck, stelle N auf 1 und erhöhe Schritt für Schritt. Ab N = 5 (Teiltöne 1, 3, 5) ist die Form erkennbar. Mit mehr Teiltönen werden die Überschwinger schmaler, aber nicht kleiner: Auch mit 31 Teiltönen liegt die Spitze noch etwa 18 % über dem Plateau (0,93 statt π/4 ≈ 0,79), das sind rund 9 % des Sprungs.

Eine endliche Summe von Sinustönen ist glatt und kann einen senkrechten Sprung nur annähern. Häufiger Irrtum: „Mit genug Teiltönen verschwindet der Überschwinger.“ Die Welligkeit zieht sich mit wachsendem N nur zum Sprung hin zusammen – erst unendlich viele Teiltöne ergeben ein perfektes Rechteck.

Teiltöne ab einer Grenze wegzulassen ist genau das, was ein Tiefpass tut. Die Anzeige „Höchster Teilton“ (N · f₀) ist hier die Grenzfrequenz. Ein Beispiel aus der Praxis: Ein 1-kHz-Rechteck durch ein 20-kHz-Filter behält nur die ungeraden Teiltöne bis 19 kHz – auf dem Oszilloskop sieht man dann genau diese Überschwinger. Sanft wie beim Feder-Masse-Modell werden die Ecken rund, steil wie beim digitalen Filter entstehen Überschwinger und Pre-Ringing.

Grenzen des Modells

Das Modell rechnet mit einem streng periodischen, gleichbleibenden Klang aus höchstens 32 Teiltönen. Echte Instrumente haben Einschwingvorgänge, ihr Spektrum ändert sich mit der Zeit, und bei steifen Saiten (etwa beim Klavier) liegen die Teiltöne leicht über den ganzzahligen Vielfachen. Das bildet das Modul nicht ab.

Die Phase kennt hier nur zwei Werte: 0° (Balken über null) oder 180° (Balken unter null), alle Teiltöne sind Sinustöne, die gemeinsam bei null starten. Teiltöne über 20 kHz werden blass gezeichnet und sind stumm. Der Ton wird auf den Effektivwert normiert, damit die Lautstärke beim Hinzufügen von Teiltönen und beim Umpolen gleich bleibt; ein Limiter fängt Wellenformen mit hohem Scheitelfaktor ab.

Die Überschwinger an Sprüngen sind kein Rechenfehler, sondern das Gibbs-Phänomen (etwa 9 % des Sprungs beim Rechteck) – genau wie hinter einem Tiefpass, der die hohen Teiltöne abschneidet.

Aufgaben

Praxisfragen

Fragen aus Studio, Bühne und Mastering – zum Nachdenken, Diskutieren und mit dem Modul Überprüfen.

1. Warum hört man auf einem Handylautsprecher, der unter etwa 200 Hz kaum etwas abstrahlt, trotzdem die Tonhöhe einer Basslinie?

Antwort anzeigen

Die Obertöne eines Basstons liegen im Abstand f₀ zueinander (2·f₀, 3·f₀, 4·f₀ …). Das Gehör erkennt dieses Muster und hört die Grundtonhöhe, auch wenn der Grundton selbst fehlt (Residualton oder „fehlender Grundton“). Plug-ins für Bassverstärkung auf kleinen Lautsprechern erzeugen gezielt Obertöne, um diesen Effekt zu nutzen.
2. Eine Gitarre ist mit dem Stimmgerät perfekt gestimmt. Trotzdem klingen Akkorde mit großer Terz leicht schwebend, Quinten dagegen ruhig. Warum?

Antwort anzeigen

Die gleichstufige Terz ist 14 Cent größer als die reine Terz der Obertonreihe (5. Teilton: −14 ct), die Quinte nur 2 Cent kleiner. Bei einer Terz C4–E4 liegen der 5. Teilton von C und der 4. Teilton von E deshalb etwa 10 Hz auseinander – das hört man als Schwebung. Bei der Quinte treffen sich die Obertöne fast genau. Manche Musiker stimmen deshalb für bestimmte Tonarten leicht anders.
3. Ein EQ oder Allpass verändert den Frequenzgang kaum, trotzdem steigen die Pegelspitzen im Master um einige dB und der Limiter greift stärker ein. Wie ist das möglich?

Antwort anzeigen

Der Spitzenwert hängt nicht nur von den Beträgen der Teiltöne ab, sondern auch von ihrer Phasenlage. Im Modul: Beim Rechteck nur den 3. Teilton umzupolen ändert keinen Betrag und keinen Effektivwert, hebt die Spitze aber um mehr als die Hälfte und den Scheitelfaktor von 1,5 auf 5,4 dB. Phasendrehende Bearbeitung kann deshalb Headroom kosten. Pegelspitzen misst man nach jeder Bearbeitung neu – am besten mit True-Peak-Anzeige.

Aufgaben

Erst vermuten, dann ausprobieren, dann die Auflösung aufklappen. „Ausgangslage laden“ stellt die passenden Startwerte ein.

1. Ein Rechteck aufbauen

Es ist nur der Grundton aktiv. Erhöhe die Anzahl der Teiltöne N Schritt für Schritt bis 32 oder spiele den Aufbau ab. Ab wann erkennst du das Rechteck? Was passiert mit den Überschwingern an den Flanken?

Ausgangslage laden

Auflösung anzeigen

Ab N = 5, also mit den Teiltönen 1, 3 und 5, ist die Rechteckform gut zu erkennen. Die Überschwinger an den Flanken werden mit mehr Teiltönen schmaler, aber nicht kleiner: Auch mit 31 Teiltönen liegt die Spitze noch etwa 18 % über dem Plateau, das sind rund 9 % des Sprungs. Das ist das Gibbs-Phänomen. Erst unendlich viele Teiltöne ergeben ein perfektes Rechteck.
2. Rechteck oder Dreieck?

Lade nacheinander Rechteck und Dreieck. Welche Teiltöne sind jeweils vorhanden? Worin unterscheiden sich die beiden Spektren, obwohl dieselben Teiltöne vorkommen?

Ausgangslage laden

Auflösung anzeigen

Beide enthalten nur die ungeraden Teiltöne (1, 3, 5 …). Beim Rechteck fallen sie mit 1/n (−6 dB pro Oktave), beim Dreieck mit 1/n² (−12 dB pro Oktave), und jeder zweite ist umgepolt. Schon der 3. Teilton ist beim Dreieck nur 1/9 so stark wie der Grundton (beim Rechteck 1/3). Deshalb ist das Dreieck schon mit wenigen Teiltönen fast perfekt und klingt weicher.
3. Die Obertonreihe hören lernen

f₀ = 110 Hz ist das A2. Zeige nacheinander auf die Balken. Welche Teiltöne sind wieder ein A? Welcher Teilton bringt als erster einen neuen Ton? Welche drei liegen am deutlichsten neben einer Klaviertaste?

Ausgangslage laden

Auflösung anzeigen

Wieder A sind die Teiltöne 1, 2, 4, 8 und 16 – die Zweierpotenzen, jeweils eine Oktave höher. Der 3. Teilton (330 Hz) bringt als erster einen neuen Ton, das E, eine Quinte über der Oktave. Am deutlichsten daneben liegen der 7. (G, 31 Cent zu tief), der 11. (D♯, 49 Cent zu tief) und der 13. (F, 41 Cent zu hoch). Der 14. ist die Oktave des 7. und weicht genauso ab.
4. Gleiches Spektrum, andere Welle

Ziehe beim Rechteck den 3. Teilton von +0,33 auf −0,33. Was ändert sich am Betrag der Teiltöne, was an der Wellenform? Beobachte Klirrfaktor und Scheitelfaktor.

Ausgangslage laden

Auflösung anzeigen

Die Beträge aller Teiltöne bleiben gleich, und damit auch Effektivwert und Klirrfaktor. Die Wellenform ändert sich aber stark: Statt eines flachen Plateaus entsteht eine Spitze in der Mitte, der Spitzenwert steigt um mehr als die Hälfte. Der Scheitelfaktor steigt von etwa 1,5 dB auf 5,4 dB. Bei gleicher Lautheit braucht dieses Signal also deutlich mehr Headroom.
5. Klirrfaktor

Der Sinus ist rein. Ziehe den 3. Teilton auf +0,1. Wie groß ist der Klirrfaktor? Wie verändert sich die Form? Setze den 3. Teilton wieder auf 0 und ziehe stattdessen den 2. auf +0,1.

Ausgangslage laden

Auflösung anzeigen

Beide Male beträgt der Klirrfaktor 10 % (−20 dB), denn er hängt nur von den Beträgen ab. Mit dem 3. Teilton werden die Kuppen flacher (Spitze 0,9 statt 1), ähnlich wie beim symmetrischen Begrenzen; die Halbwellen bleiben Spiegelbilder voneinander. Mit dem 2. Teilton werden positive und negative Halbwelle verschieden: Sie neigen sich in unterschiedliche Richtungen. Gerade Teiltöne entstehen bei unsymmetrischen Verzerrungen, ungerade bei symmetrischen.

Einstellungen

Ton

Kalibrierung der Pegel (dB SPL)

MIDI-Keyboard

Obertonreihe